Question

19．已知在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°．
（1）∠ABC+∠ADC=180°；
（2）如圖①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，請(qǐng)寫出DE與BF的位置關(guān)系，并證明；
（3）如圖②，若BE，DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE=$\frac{1}{4}$∠CDN，∠CBE=$\frac{1}{4}$∠CBM），試求∠E的度數(shù)

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°列式計(jì)算即可得解；
（2）延長(zhǎng)DE交BF于G，根據(jù)角平分線的定義可得∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根據(jù)垂直的定義證明即可；
（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延長(zhǎng)DC交BE于H，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求解即可．

解答 （1）解：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；
故答案為：180°；

（2）解：延長(zhǎng)DE交BF于G，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CBM，
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF，
即DE⊥BF；

（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，
∵BE、DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠CDE+∠CBE=$\frac{1}{4}$×180°45°，
延長(zhǎng)DC交BE于H，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，
∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，
∴∠E=90°-45°=45°

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．