Question

8．如圖，二次函數(shù)y=ax²-4ax與x軸交于O，A兩點(diǎn)，y軸上有一點(diǎn)B（0，2），作經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的⊙C，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)⊙C上的任意一點(diǎn)，連接BP，AP，當(dāng)四邊形OAPB面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）．

Answer 1

分析 當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，四邊形AOBP的面積最大，因?yàn)锳B是定值，所以當(dāng)點(diǎn)P到AB的距離最大時(shí)，△PAB的面積最大值，此時(shí)PA=PB，作PE⊥y軸于E，PF⊥OA于F．由△PEB≌△PFA，推出PE=PF，設(shè)PE=PF=a，再證明四邊形PEOF是正方形，在 Rt△PAF中，利用勾股定理，列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，

∵當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，四邊形AOBP的面積最大，
∵AB是定值，
∴當(dāng)點(diǎn)P到AB的距離最大時(shí)，△PAB的面積最大值，
此時(shí)PA=PB，作PE⊥y軸于E，PF⊥OA于F．
∵∠PBE+∠PBO=180°，∠PBO+∠PAF=180°，
∴∠PBE=∠PAF，
在△PEB和△PFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠PFA}\\{∠PBE=∠PAF}\\{PB=PA}\end{array}\right.$，
∴△PEB≌△PFA，
∴PE=PF，設(shè)PE=PF=a，
∵∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，
∴四邊形PEOF是矩形，
∵PE=PF，
∴四邊形PEOF是正方形，
∴OF=PF=a，
∵BO=2，AO=4，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
∴PB=PA=$\sqrt{10}$，
在Rt△PAF中，∵PA²=PF²+AF²，
∴10=a²+（4-a）²，
∴a=3或1（舍棄）
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（3，3）．
故答案為（3，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．