Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABT=45°，AT=AB．
（1）求證：AT是⊙O的切線；
（2）若C是TB上一點(diǎn)，$\frac{BC}{CT}$=$\frac{1}{2}$，連接OC，AC，求tan∠ACO的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠TAB=90°，得出TA⊥AB，從而證得AT是⊙O的切線；
（2）過(guò)C作CD⊥AB于D，OE⊥AC于E，設(shè)AB=AT=3a，得到BD=CD=a，求得OD=$\frac{1}{2}$a，根據(jù)勾股定理得到OC=$\sqrt{C{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到OE=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$a，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB，
∴∠T=∠ABT=45°，
∴∠BAT=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AT是⊙O的切線；

（2）過(guò)C作CD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
設(shè)AB=AT=3a，
∵$\frac{BC}{CT}$=$\frac{1}{2}$，
∴BD=CD=a，
∴OD=$\frac{1}{2}$a，
∴OC=$\sqrt{C{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，AC=$\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∵∠CDA=∠AEO=90°，∠OAE=∠CAD，
∴△AEO∽△ADC，
∴$\frac{OE}{CD}=\frac{AO}{AC}$，即$\frac{OE}{a}=\frac{\frac{3}{2}a}{\sqrt{5}a}$，
∴OE=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$a，
∴CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
∴tan∠ACO=$\frac{OE}{CE}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，切線的判定，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．