Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=8，以C為圓心，4為半徑作⊙C．
（1）試判斷⊙C與AB的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）點(diǎn)F是⊙C上一動點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上且CD=2，試說明△FCD～△ACF；
（3）點(diǎn)E是AB邊上任意一點(diǎn)，在（2）的情況下，試求出EF+$\frac{1}{2}$FA的最小值．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：相切．作CM⊥AB于M．，只要證明CM=4，即可解決問題；
（2）由CF=4，CD=2，CA=8，推出CF²=CD•CA，推出$\frac{CF}{CD}$=$\frac{CA}{CF}$，由∠FCD=∠ACF，即可推出△FCD∽△ACF；
（3）作AE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．由△FCD∽△ACF，可得$\frac{DF}{AF}$=$\frac{CF}{CA}$=$\frac{1}{2}$，推出DF=$\frac{1}{2}$AC，推出EF+$\frac{1}{2}$AF=EF+DF，所以欲求EF+$\frac{1}{2}$AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值；

解答 （1）解：結(jié)論：相切．

理由：作CM⊥AB于M．
在Rt△ACM中，∵∠AMC=90°，∠CAM=30°，AC=8，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=4，
∵⊙O的半徑為4，
∴CM=r，
∴AB是⊙C的切線．

（2）證明：

∵CF=4，CD=2，CA=8，
∴CF²=CD•CA，
∴$\frac{CF}{CD}$=$\frac{CA}{CF}$，∵∠FCD=∠ACF，
∴△FCD∽△ACF．

（3）解：作AE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．

∵△FCD∽△ACF，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{CF}{CA}$=$\frac{1}{2}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF+$\frac{1}{2}$AF=EF+DF，
∴欲求EF+$\frac{1}{2}$AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值，
當(dāng)E與E′，F(xiàn)與F′重合時，EF+DF的值最小，最小值=DE′=$\frac{1}{2}$AD=3．

點(diǎn)評 本題考查圓綜合題、切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，正確切線的證明方法，學(xué)會正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會利用垂線段最短解決問題，屬于中考壓軸題．