Question

14．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E．點(diǎn)F在AC的延長線上，且∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若AB=5，sin∠CBF=$\frac{1}{2}$，求BC和BF的長．

Answer 1

分析 （1）連接AE，利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF=90°．
（2）解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠CAB．
∵∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直徑，
∴直線BF是⊙O的切線；

（2）解：過點(diǎn)C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=$\frac{1}{2}$，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=$\frac{1}{2}$，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=5×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=5，
∴AB=AC=BC，
∴∠BAC=60°，
∴∠F=30°，
∴BF=$\sqrt{3}$AB=5$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合題：切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角所對的圓周角是直角、解直角三角形等知識點(diǎn)．