Question

20．如圖，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4，現(xiàn)將△ABC繞頂點B順時針方向旋轉△A′BC′的位置，此時A′C′與BC的交點D是BC的中點，則線段C′D的長度是（　�。�

• A． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{6\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{8\sqrt{5}}{5}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 首先求出AB、cos∠A的值；然后證明cos∠A′=cos∠A，A′M=CM；求出A′M的值，即可解決問題．

解答 解：過點B作BM⊥A′C′，交A′C′于點M，如圖所示：
∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，cosA=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
由題意得：∠A′=∠A，A′B=AB=2，A′C′=AC=2$\sqrt{5}$，
∵點D為BC的中點，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2，BD=A′B，而BM⊥A′C′，
∴A′M=DM，
∵cosA′=cosA，且cosA′=$\frac{A′M}{A′B}$，
∴A′M=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×2=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴C'D=A'C'-2A'M=2$\sqrt{5}$-2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：B．

點評 該題主要考查了旋轉變換的性質、勾股定理、等腰三角形的性質、三角函數(shù)等知識點及其應用問題；解題的關鍵是作輔助線和求出A'M的長．