Question

3．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，且AD=DC=3cm，AB=5cm，動點P從A點出發(fā)，以1cm/s的速度沿折線A-D-C運動，過點P作PQ∥AB，交BC于點Q，設運動時間為t（s），
（1）當點P經(jīng)過CD的中點時，直線PQ與AD的延長線相交于點E，求證：△CPQ≌△DPE．
（2）當△APQ為直角三角形時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由ASA即可證明△CPQ≌△DPE；
（2）分兩種情形：
情形1：當P₂A⊥Q₂A時，證明△ABO∽△P₂Q₂C，得出Q₂C=$\frac{4}{3}$（6-t），再證明△ADP₂≌△AOQ₂，得出DP₂=OQ₂，列出方程$\frac{4}{3}$（6-t）-3=t-3，解方程即可；
情形2：當AQ₁₁⊥P₁Q₁時，根據(jù)射影定理求出OQ₁=$\frac{9}{4}$，得出CQ₁3=$\frac{3}{4}$，再證明△ABO∽△P₁Q₁C，求出P₁C=$\frac{9}{16}$，即可得出t=6-$\frac{9}{16}$=$\frac{87}{16}$．

解答 （1）證明：如圖1所示：
∵點P是CD的中點，
∴DP=CP，
∵AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠C=90°，
在△DPE和△CPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDP=∠C}\\{DP=PC}\\{∠DPE=∠CPQ}\end{array}\right.$，
∴△DPE≌△CPQ（ASA）；
（2）解：如圖2，過點A作AO⊥BC于點O，
∵∠AOC=∠C=∠D=90°AD=CD=3cm，
∴四邊形AOCD是正方形，
∵AB=5cm，AO=3cm，
∴BO=4cm，
情形1：當P₂A⊥Q₂A時，
∵AB∥P₂Q₂，
∴∠ABO=∠P₂Q₂C，
又∵∠AOPB=∠C=90°，
∴△ABO∽△P₂Q₂C，
∴$\frac{{P}_{2}C}{AO}$=$\frac{{Q}_{2}C}{BO}$，
則$\frac{6-t}{3}$=$\frac{{Q}_{2}C}{4}$，
∴Q₂C=$\frac{4}{3}$（6-t），
在△ADP₂和△AOQ₂中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠AO{Q}_{2}}\\{AD=AO}\\{∠DA{P}_{2}=∠OA{Q}_{2}}\end{array}\right.$，
∴△ADP₂≌△AOQ₂（ASA），
∴DP₂=OQ₂，
∴$\frac{4}{3}$（6-t）-3=t-3，
解得：t=$\frac{24}{7}$；
情形2：當AQ₁₁⊥P₁Q₁時，
∵AO⊥BC，根據(jù)射影定理得：AO²=BO•OQ₁，
∴OQ₁=$\frac{{3}^{2}}{4}$=$\frac{9}{4}$，
∴CQ₁3=3-$\frac{9}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∵P₁Q₁∥AB，
∴∠B=∠P₁Q₁，∠AOB=∠C=90°，
∴△ABO∽△P₁Q₁C，
∴$\frac{{P}_{1}C}{AO}=\frac{C{Q}_{1}}{BO}$，
∴P₁C=$\frac{9}{16}$，
∴t=6-$\frac{9}{16}$=$\frac{87}{16}$，
綜上所述：當△APQ為直角三角形時，t的值為$\frac{24}{7}$或$\frac{87}{16}$．

點評 本題考查了梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；本題難度較大，特別是（2）中，需要進行分類討論，通過證明三角形全等和三角形相似才能得出答案．