Question

13．如圖，在?ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點，BG∥AC交DA的延長線于點G．
（1）求證：△ADF≌△CBE；
（2）若四邊形AGBC是矩形，判斷四邊形AECF是什么特殊的四邊形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，AD∥BC，∠D=∠ABC，AB=CD，證出DF=BE，由SAS證明△ADF∽≌△CBE即可；
（2）由矩形的性質(zhì)得出∠ACB=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，同理AF=FC，得出AF=FC=CE=EA，即可證出四邊形AECF為菱形．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠D=∠ABC，AB=CD，
又∵E、F分別是邊AB、CD的中點，
∴DF=BE，
在△ADF和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}&{\;}\\{∠D=∠B}&{\;}\\{DF=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF∽≌△CBE（SAS）；
（2）解：四邊形AECF為菱形；理由如下：
∵四邊形AGBC是矩形，
∴∠ACB=90°，
又∵E為AB中點，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，
同理AF=FC，
∴AF=FC=CE=EA，
∴四邊形AECF為菱形．

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定，菱形的判定，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AF=FC=CE=EA是解決問題的關(guān)鍵．