Question

20．如圖所示，A（-$\sqrt{3}$，0）、B（0，1）分別為x軸、y軸上的點(diǎn)，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)P（3，a）在第一象限內(nèi)．
（1）求△ABC的面積；
（2）用含a的代數(shù)式表示△ABP的面積；
（3）若2S_△ABP=S_△ABC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A（-$\sqrt{3}$，0）、B（0，1）求OA、OB，利用勾股定理求AB，可得△ABC的面積，
（2）過(guò)P點(diǎn)作PD⊥x軸，垂足為D，利用S_△ABP=S_△AOB+S_梯形BODP-S_△ADP即可表示出△ABP的面積；
（3）根據(jù)2S_△ABP=S_△ABC列方程求得a，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線PA的解析式，即可求得D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由A（-$\sqrt{3}$，0）、B（0，1）得OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∴tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=30°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠OAC=90°，
由勾股定理，得AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
（2）過(guò)P點(diǎn)作PD⊥x軸，垂足為D，
S_△ABP=S_△AOB+S_梯形BODP-S_△ADP
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1+$\frac{1}{2}$×（1+a）×3-$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}$+3）×a，
=$\frac{\sqrt{3}+3-\sqrt{3}a}{2}$，
（3）由2S_△ABP=S_△ABC，$\sqrt{3}+3-\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$．
∴P（3，$\sqrt{3}$），
設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，
代入P（3，$\sqrt{3}$），A（-$\sqrt{3}$，0）得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=\sqrt{3}}\\{-\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}-1}{2}}\\{b=\frac{3-\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$
∴D（0，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，不規(guī)則三角形面積的表示方法及待定系數(shù)法求解析式．