Question

16．已知等腰△ABC和⊙M，且AB=AC．
（1）如圖l，若⊙M與BA的延長線AK及邊AC均相切，求證：AM∥BC；
（2）如圖2，若∠B=60°，⊙M與BA的延長線AK、BC的延長線CE及邊AC均相切，求證：四邊形ABCM是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）由等邊△ABC，即可得∠B=∠BAC=60°，求得∠KAC=120°，又由⊙M與BA的延長線AK及邊AC均相切，利用切線長定理，即可得∠KAM=60°，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行，證得AM∥BC；
（2）根據(jù)（1），易證得AM∥BC，CM∥AB，繼而可證得四邊形ABCM是平行四邊形．

解答 證明：
（1）連接AM，如圖1，
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．
∵⊙M與BA的延長線AK及邊AC均相切，
∴∠KAM=∠CAM=$\frac{1}{2}$∠KAC，
又∠KAC=∠B+∠ACB，
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠KAC．
∴∠KAM=∠B．
∴AM∥BC．
（2）∵AB=AC，∠B=60°，如圖2，
∴△ABC是等邊三角形，
即∠B=∠BAC=∠ACB=60°．
∴∠KAC=180°-∠BAC=120°，∠FCA=120°，
∵⊙M與BA的延長線AK、BC的延長線CF及邊AC均相切，
∴∠KAM=∠CAM=$\frac{1}{2}$∠KAC=$\frac{1}{2}$×l20°=60°，
∠KCM=∠ACM=$\frac{1}{2}$∠KCA=$\frac{1}{2}$×l20°=60°，
∴∠KAM=∠B=60°，∠FCM=∠B=60°．
∴AM∥BC，CM∥AB．
∴四邊形ABCM是平行四邊形．

點評 此題考查了切線長定理、平行線的判定以及等邊三角形的判定和性質(zhì)性質(zhì)、平行四邊形的判定，題目的綜合性較強，難度中等，對學(xué)生的綜合解題能力要求很高，解題的關(guān)鍵是熟記和圓有關(guān)的性質(zhì)定理以及平行四邊形的各種判定方法．