Question

9．如圖1，已知線段AB，CD相交于點(diǎn)O，連接AD，CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD，AB分別相交于點(diǎn)M，N，試解答下列問(wèn)題：
（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）在圖2中，若∠D=40°，∠B=36°，試求∠P的度數(shù)；
（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問(wèn)∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論即可）

Answer 1

分析 （1）利用三角形的內(nèi)角和定理表示出∠AOD與∠BOC，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解；
（2）根據(jù)（1）的關(guān)系式求出∠OCB-∠OAD，再根據(jù)角平分線的定義求出∠DAM-∠PCM，然后利用“8字形”的關(guān)系式列式整理即可得解；
（3）根據(jù)“8字形”用∠B、∠D表示出∠OCB-∠OAD，再用∠D、∠P表示出∠DAM-∠PCM，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠DAM-∠PCM=$\frac{1}{2}$（∠OCB-∠OAD），然后整理即可得證．

解答 解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°-∠A-∠D，
在△BOC中，∠BOC=180°-∠B-∠C，
∵∠AOD=∠BOC（對(duì)頂角相等），
∴180°-∠A-∠D=180°-∠B-∠C，
∴∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）∵∠D=40°，∠B=36°，
∴∠OAD+40°=∠OCB+36°，
∴∠OCB-∠OAD=4°，
∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，
∴∠DAM=$\frac{1}{2}$∠OAD，∠PCM=$\frac{1}{2}$∠OCB，
又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，
∴∠P=∠DAM+∠D-∠PCM=$\frac{1}{2}$（∠OAD-∠OCB）+∠D=$\frac{1}{2}$×（-4°）+40°=38°；

（3）根據(jù)“8字形”數(shù)量關(guān)系，∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，
所以，∠OCB-∠OAD=∠D-∠B，∠PCM-∠DAM=∠D-∠P，
∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，
∴∠DAM=$\frac{1}{2}$∠OAD，∠PCM=$\frac{1}{2}$∠OCB，
∴$\frac{1}{2}$（∠D-∠B）=∠D-∠P，
整理得，2∠P=∠B+∠D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，多邊形的內(nèi)角和定理，對(duì)頂角相等的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．