Question

19．（1）閱讀理解：
如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，求∠APB的大�。�
思路點(diǎn)撥：考慮到PA，PB，PC不在一個(gè)三角形中，采用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，可以將△ABP繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△ACP′處，此時(shí)△ACP′≌△ABP，這樣，就可以利用全等三角形知識(shí)，結(jié)合已知條件，將三條線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出∠APB的度數(shù)．請(qǐng)你寫(xiě)出完整的解題過(guò)程．
（2）變式拓展：請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問(wèn)題：
已知如圖2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點(diǎn)且∠EAF=45°，BE=5，CF=4，求EF的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC，∠BAC=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出△ACP′≌△ABP，求出PA=P′A=3，PB=P′C=4，∠BAP=∠CAP′，求出∠P′AP=∠BAC=60°，推出△PAP′是等邊三角形，求出PP′=P′A=3，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠PP′C=90°，即可得出答案；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出△ACE′≌△ABE，根據(jù)全等得出AE=AE′，BE=CE′，∠E′AC=′BAE，求出∠FAE′=∠EAF，根據(jù)全等三角形的判定推出△AEF≌△AE′F，推出FE=FE′，根據(jù)勾股定理求出E′F即可．

解答
解：（1）∵三角形ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
如圖1，將△ABP繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△ACP′處，
則△ACP′≌△ABP，
∴PA=P′A=3，PB=P′C=4，∠BAP=∠CAP′，
∴∠P′AP=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°，
∴△PAP′是等邊三角形，
∴PP′=P′A=3，
在△PP′C中，PP^'2+P′C²=9+15=25=PC²，
∴△PP′C是直角三角形，
∴∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=60°+90°=150°；

（2）將△ABE繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ACE′處，
則△ACE′≌△ABE，
∴AE=AE′，BE=CE′，∠E′AC=′BAE，
∵∠BAC=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∠FAE′=∠E′AC+∠FAC=∠BAE+∠FAC=45°=∠EAF，
在△AEF和△AE′F中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE′}\\{∠EAF=∠E′AF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AE′F，
∴FE=FE′，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠E′CA=∠B=45°，
∴∠E′CF=45°+45°=90°，
在Rt△E′FC中，E′C²+FC²=E′F²，
∴EF²=BE²+CF²=5²+4²=41，
∴EF=$\sqrt{41}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，證明過(guò)程類似．