Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，?ABCO的頂點A，B的坐標(biāo)分別是A（3，0），B（0，2）．動點P在直線y=$\frac{3}{2}$x上運動，以點P為圓心，PB長為半徑的⊙P隨點P運動，當(dāng)⊙P與?ABCO的邊相切時，P點的坐標(biāo)為（0，0）或（$\frac{2}{3}$，1）或（3-$\sqrt{5}$，$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$）．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，$\frac{3}{2}$x），⊙P的半徑為r，由題意BC⊥y軸，直線OP的解析式y(tǒng)=$\frac{3}{2}$x，直線OC的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x，可知OP⊥OC，分分四種情形討論即可．

解答 解：①當(dāng)⊙P與BC相切時，∵動點P在直線y=$\frac{3}{2}$x上，
∴P與O重合，此時圓心P到BC的距離為OB，
∴P（0，0）．
②如圖1中，當(dāng)⊙P與OC相切時，則OP=BP，△OPB是等腰三角形，作PE⊥y軸于E，則EB=EO，易知P的縱坐標(biāo)為1，可得P（$\frac{2}{3}$，1）．

③如圖2中，當(dāng)⊙P與OA相切時，則點P到點B的距離與點P到x軸的距離相等，可得$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{3}{2}x-2）^{2}}$=$\frac{3}{2}$x，

解得x=3+$\sqrt{5}$或3-$\sqrt{5}$，
∵x=3+$\sqrt{5}$＞OA，
∴⊙P不會與OA相切，
∴x=3+$\sqrt{5}$不合題意，
∴P（3-$\sqrt{5}$，$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$）．
④如圖3中，當(dāng)⊙P與AB相切時，設(shè)線段AB與直線OP的交點為G，此時PB=PG，

∵OP⊥AB，
∴∠BGP=∠PBG=90°不成立，
∴此種情形，不存在P．
綜上所述，滿足條件的P的坐標(biāo)為（0，0）或（$\frac{2}{3}$，1）或（3-$\sqrt{5}$，$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$）．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．