Question

14．農(nóng)經(jīng)公司以30元/千克的價格收購一批農(nóng)產(chǎn)品進行銷售，為了得到日銷售量p（千克）與銷售價格x（元/千克）之間的關系，經(jīng)過市場調(diào)查獲得部分數(shù)據(jù)如下表：

銷售價格x（元/千克）	30	35	40	45	50
日銷售量p（千克）	600	450	300	150	0

（1）請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用所學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定p與x之間的函數(shù)表達式；
（2）農(nóng)經(jīng)公司應該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？
（3）若農(nóng)經(jīng)公司每銷售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出a元（a＞0）的相關費用，當40≤x≤45時，農(nóng)經(jīng)公司的日獲利的最大值為2430元，求a的值．（日獲利=日銷售利潤-日支出費用）

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可猜想y與x是一次函數(shù)關系，任選兩點求表達式，再驗證猜想的正確性；
（2）根據(jù)題意列出日銷售利潤w與銷售價格x之間的函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定最大值即可；
（3）根據(jù)題意列出日銷售利潤w與銷售價格x之間的函數(shù)關系式，并求得拋物線的對稱軸，再分兩種情況進行討論，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的值．

解答 解：（1）假設p與x成一次函數(shù)關系，設函數(shù)關系式為p=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{30k+b=600}\\{40k+b=300}\end{array}\right.$，
解得：k=-30，b=1500，
∴p=-30x+1500，
檢驗：當x=35，p=450；當x=45，p=150；當x=50，p=0，符合一次函數(shù)解析式，
∴所求的函數(shù)關系為p=-30x+1500；

（2）設日銷售利潤w=p（x-30）=（-30x+1500）（x-30）
即w=-30x²+2400x-45000，
∴當x=-$\frac{2400}{2×（-30）}$=40時，w有最大值3000元，
故這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格定為40元，才能使日銷售利潤最大；

（3）日獲利w=p（x-30-a）=（-30x+1500）（x-30-a），
即w=-30x²+（2400+30a）x-（1500a+45000），
對稱軸為x=-$\frac{2400+30a}{2×（-30）}$=40+$\frac{1}{2}$a，
①若a＞10，則當x=45時，w有最大值，
即w=2250-150a＜2430（不合題意）；
②若a＜10，則當x=40+$\frac{1}{2}$a時，w有最大值，
將x=40+$\frac{1}{2}$a代入，可得w=30（$\frac{1}{4}$a²-10a+100），
當w=2430時，2430=30（$\frac{1}{4}$a²-10a+100），
解得a₁=2，a₂=38（舍去），
綜上所述，a的值為2．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，解題時要利用圖表中的信息，學會用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，并將實際問題轉化為求函數(shù)最值問題，從而來解決實際問題．