Question

18．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點O在AB上，經(jīng)過點A的⊙O與BC相切于點D，交AB于點E．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析 （1）連接DE，OD．利用弦切角定理，直徑所對的圓周角是直角，等角的余角相等證明∠DAO=∠CAD，進而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠BAC=45°，由BC相切⊙O于點D，得到∠ODB=90°，求得OD=BD，∠BOD=45°，設(shè)BD=x，則OD=OA=x，OB=$\sqrt{2}$x，根據(jù)勾股定理得到BD=OD=$\sqrt{2}$，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接DE，OD．
∵BC相切⊙O于點D，
∴∠CDA=∠AED，
∵AE為直徑，
∴∠ADE=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACD=90°，
∴∠DAO=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵BC相切⊙O于點D，
∴∠ODB=90°，
∴OD=BD，∴∠BOD=45°，
設(shè)BD=x，則OD=OA=x，OB=$\sqrt{2}$x，
∴BC=AC=x+1，
∵AC²+BC²=AB²，
∴2（x+1）²=（$\sqrt{2}$x+x）²，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴BD=OD=$\sqrt{2}$，
∴圖中陰影部分的面積=S_△BOD-S_扇形DOE=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{2}×\sqrt{2}$-$\frac{45•π×（\sqrt{2}）^{2}}{360}$=1-$\frac{π}{4}$．

點評 本題主要考查了切線的性質(zhì)，角平分線的定義，扇形面積的計算和勾股定理．熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．