Question

17．如圖，拋物線(xiàn)y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）點(diǎn)M是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCM的面積為5時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先把A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）代入拋物線(xiàn)y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2即可求出b的值，進(jìn)而可求出拋物線(xiàn)的解析式，再由拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式即可求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由兩點(diǎn)間的距離公式分別求出AC，BC，AB的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可判斷出△ABC的形狀；
（3）先求出直線(xiàn)BC解析式，求出平行于直線(xiàn)BC到直線(xiàn)BC距離為$\sqrt{5}$的直線(xiàn)a的解析式，聯(lián)立方程組求解即可．

解答 解：（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）代入拋物線(xiàn)y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2得，
0=$\frac{1}{2}$×（-1）²-b-2，解得b=-$\frac{3}{2}$，
∴原拋物線(xiàn)的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，
∴x=$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{25}{8}$，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）；

（2）∵拋物線(xiàn)的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，令x=0，∴y=-2，∴C（0，-2）；
令y=0，∴0=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，∴x=-1或x=4，∴B（4，0）

∵AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC，

由（2）知，BC=2$\sqrt{5}$，OC=2，OB=4，∴OD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
設(shè)BC邊上的高為h，
∴S_△BCM=$\frac{1}{2}$×BC×h=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$h=5，
∴h=$\sqrt{5}$，
∵$\frac{CE}{OC}=\frac{h}{OD}$，
∴$\frac{CE}{2}=\frac{\sqrt{5}}{\frac{4\sqrt{5}}{5}}$，
∴CE=$\frac{5}{2}$，
∵C（0，-2）；B（4，0）
∴直線(xiàn)BC解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴直線(xiàn)a的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$②或y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{9}{2}$③，
∵拋物線(xiàn)的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2①，
聯(lián)立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴M（-1，0），（5，3）；
聯(lián)立①③得x²-4x+5=0，此方程無(wú)解，
∴M（-1，0），（5，3）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題及勾股定理的逆定理，熟知坐標(biāo)軸上各點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)及兩點(diǎn)間的距離公式是解答此題的關(guān)鍵．