Question

8．等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為10、10、12，則其內(nèi)心與外心的距離為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得BH=CH，AH平分∠BAC，從而得到△ABC的外心O及內(nèi)心I都在AH上．設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，內(nèi)切圓的半徑為r，連接IE、BI、OB，如圖，在Rt△AHB中運(yùn)用勾股定理可求出AH，在Rt△OHB中運(yùn)用勾股定理可求出R，然后運(yùn)用面積法可求出r，即可解決問(wèn)題．

解答 解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，
∴BH=CH，AH平分∠BAC，
∴△ABC的外心O及內(nèi)心I都在AH上．
設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，內(nèi)切圓的半徑為r，連接IE、BI、OB，如圖，
在Rt△AHB中，
∵AB=10，BH=6，∴AH=8．
在Rt△OHB中，
OH²+BH²=OB²，
則（8-R）²+6²=R²，
解得R=$\frac{25}{4}$，
∴OH=AH-AO=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$．
∵S_△ABH=S_△ABI+S_△BHI，
∴$\frac{1}{2}×6×8$=$\frac{1}{2}$×6r+$\frac{1}{2}$×10r，
解得r=3，
∴IH=3，
∴IO=IH-OH=3-$\frac{7}{4}$=$\frac{5}{4}$．
故答案為$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的內(nèi)心和外心、等腰三角形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，在求三角形內(nèi)切圓半徑時(shí)巧妙地運(yùn)用面積法，涉及到垂線段的長(zhǎng)通�？煽紤]使用面積法．