Question

13．在三角形ABC中，∠C=θ，∠B=2θ，其中0°＜θ＜60°，圓心是A及半徑是AB的圓與AC相交于D，并與BC相交（若需要可延長(zhǎng)BC）相交于B、E（E可與B重合），那么EC=AD成立的條件是（　　）

• A． 沒(méi)有θ的值可適合
• B． 僅當(dāng)θ=45°
• C． 僅當(dāng)0°＜θ≤45°
• D． 僅當(dāng)45°≤θ＜60°
• E． 對(duì)于所有滿足0°＜θ＜60°的θ都適合

Answer 1

分析 分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0°＜θ＜45°時(shí)，如圖1，這時(shí)發(fā)現(xiàn)△AEC是等腰三角形，則AE=EC，而AE和AD是同圓的半徑，所以相等，結(jié)論成立；
②當(dāng)θ=45°時(shí)，如圖2，這時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，△ABC是等腰直角三角形，與同圓的半徑相等，結(jié)論仍然成立；
③當(dāng)45°＜θ＜60°時(shí)，如圖3，⊙A與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，根據(jù)三角形的內(nèi)角和計(jì)算∠CAE的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)與∠C相等，所以△ACE也是等腰三角形，同理結(jié)論也成立．
所以EC=AD成立的條件是，對(duì)于所有滿足0°＜θ＜60°的θ都適合．

解答 解：①當(dāng)0°＜θ＜45°時(shí)，如圖1，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABC=2θ，
∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠C=θ，
∴2θ=θ+∠CAE，
∴∠CAE=θ，
∴∠C=∠CAE，
∴AE=CE，
∵AE=AD，
∴EC=AD；
所以當(dāng)0°＜θ＜45°時(shí)，EC=AD成立；
②當(dāng)θ=45°時(shí)，如圖2，這時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，
∴∠C=45°，∠ABC=2θ=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∵AB=AD，
∴BC=AD，
即EC=AD，
所以θ=45°時(shí)，EC=AD成立；
③當(dāng)45°＜θ＜60°時(shí)，如圖3，⊙A與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠ABC=2θ，
∴∠ABE=∠AEB=180°-2θ，
∴∠BAE=180°-2（180°-2θ）=4θ-180°，
∵∠C=θ，∠ABC=2θ，
∴∠BAC=180°-3θ，
∴∠EAC=∠BAC+∠BAE=4θ-180°+180°-3θ=θ，
∴∠C=∠EAC，
∴AE=EC，
∵AE=AD，
∴EC=AD，
∴當(dāng)45°＜θ＜60°時(shí)，EC=AD成立；
綜上所述：EC=AD成立的條件是，對(duì)于所有滿足0°＜θ＜60°的θ都適合．
故選E．

點(diǎn)評(píng) 本題是直線和圓的位置關(guān)系，考查了分類討論的思想，本題是把三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三種情況討論，利用了等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角，及同圓的半徑相等、三角形的內(nèi)角和定理，得出角相等，則邊相等的關(guān)系．