Question

7．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動圓與CB、CA分別相交于點(diǎn)E、F，則線段EF長度的最小值是2.4．

Answer 1

分析 利用勾股定理的逆定理，由三角形的三邊長可得△ABC為Rt△，根據(jù)90°的圓周角所對的弦為直徑得出EF為圓的直徑，又圓與AB相切，設(shè)切點(diǎn)為D，可知當(dāng)CD⊥AB時(shí)，根據(jù)點(diǎn)到直線的垂線段最短可得CD最短，此時(shí)EF亦最小，由三角形ABC為直角三角形，根據(jù)直角三角形的三邊長，利用面積法即可求出CD的長，即為EF的最小值．

解答 解：結(jié)合題意得，AB²=AC²+BC²，
∴△ABC為RT△，即∠C=90°，可知EF為圓的直徑，
設(shè)圓與AB的切點(diǎn)為D，連接CD，
當(dāng)CD⊥AB，即CD是圓的直徑的時(shí)候，EF長度最小，
則EF的最小值是$\frac{3×4}{5}$=2.4．
故答案為：2.4．

點(diǎn)評 此題考查了圓周角定理，勾股定理的逆定理，垂線段最短以及切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出EF為圓的直徑，故當(dāng)CD是直徑時(shí)EF最小．