Question

15．如圖，已知△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)． 
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）求證：△ADE是直角三角形；
（3）已知△ADE的面積為30cm²，DE=13cm，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）由于△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，那么∠B=∠BAC=45°，AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°，結(jié)合等式性質(zhì)易證∠1=∠2，那么利用SAS可證△ACE≌△BCD；
（2）由（1）證得△ACE≌△BCD，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，于是可得∠CAE=∠B=45°，易求∠EAD=90°；求得結(jié)論；
（3）由△ADE的面積為30，利用面積公式得到AD•AE=60，解直角三角形得到AD+AE=17，根據(jù)BD=AE，求得AB=AD+BD=AD+AE=17cm．

解答 解：（1）證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°，
AC=BC，
CE=CD，
∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠1=∠2，
在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠1=∠2}\\{CE=CD}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△BCD；

（2）由（1）證得△ACE≌△BCD，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠CAE=∠B=45°，
∴∠EAD=∠EAC+∠CAB=45°+45°=90°，
∴△ADE是直角三角形；

（3）解：由題意得：$\frac{1}{2}$AD•AE=30，即AD•AE=60，
在R_t△ADE中，由勾股定理得：AD²+AE²=DE²=13²=169，
∴（AD+AE）²=AD²+AE²+2AD•AE=289，
∴AD+AE=17，
由（1）得：△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，
∴AB=AD+BD=AD+AE=17cm．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是證明△ACE≌△BCD．