Question

14．已知：如圖A是⊙O上一點(diǎn)，半徑OC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)A的直線交于B點(diǎn)，OC=BC，∠B=30°．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）求證：AB是⊙O的切線，可以轉(zhuǎn)化為證∠OAB=90°的問(wèn)題來(lái)解決．
（2）作AE⊥CD于點(diǎn)E，CD=DE+CE，因而就可以轉(zhuǎn)化為求DE，CE的問(wèn)題，根據(jù)勾股定理就可以得到．

解答 （1）證明：如圖，連接OA；
∵OC=BC，OA=OC，
∴OA=$\frac{1}{2}$OB．
∴∠OAB=90°，
∴AB是⊙O的切線；

（2）解：作AE⊥CD于點(diǎn)E，
∵∠O=60°，
∴∠D=30°．
∵∠ACD=45°，AC=OC=2，
∴在Rt△ACE中，CE=AE=$\sqrt{2}$；
∵∠D=30°，
∴AD=2$\sqrt{2}$，
∴DE=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{6}$，
∴CD=DE+CE=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．