Question

11．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，點E、F在邊AD上運動，且AE=DF．CF交BD于G，BE交AG于H．
（1）求證：∠DAG=∠ABE；
（2）①求證：點H總在以AB為直徑的圓弧上；
    ②畫出點H所在的圓弧，并說明這個圓弧的兩個端點字母；
（3）直接寫出線段DH長度的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠DAG=∠DCG，利用“邊角邊”證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠DCF=∠ABE，從而證得∠DAG=∠ABE；
（2）①根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠DCF=∠ABE，從而證得∠DAG=∠ABE，然后求出∠AHB=90°，再根據(jù)圓周角定理即可證得；
②以AB的中點O為圓心，OA長為半徑畫弧，交BD于I；
（3）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，取AB的中點O，連接OH、OD，然后求出OH=$\frac{1}{2}$AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當O、D、H三點共線時，DH的長度最�。�

解答 （1）證明：如圖1，在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAD=∠CDA=90°}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
在△ADG和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADG=∠CDG=45°}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCF，
∴∠DAG=∠ABE；
（2）①如圖1，∵∠DAG=∠ABE，∠BAH+∠DAG=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
∴BE⊥AG，
∴點H總在以AB為直徑的圓弧上；
②如圖2，以AB的中點O為圓心，OA長為半徑畫弧，交BD于I（I是BD的中點），弧的兩個端點為A和I．
（3）如圖3，取AB的中點O，連接OH、OD，
則OH=AO=$\frac{1}{2}$AB=2cm，
在Rt△AOD中，OD=$\sqrt{O{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，
∴當O、D、H三點共線時，DH的長度最小，
DH的最小值=OD-OH=2$\sqrt{5}$-2．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定出DH最小時點H的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點．