Question

3．已知：如圖，AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)

（1）如圖1，已知∠A=30°，∠APC=80°，求∠C的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括E，F(xiàn)兩點(diǎn)），∠A，∠APC與∠C之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線EF（線段EF除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？如果不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A，∠APC與∠C之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）過(guò)P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠APO=∠A=30°，∠C=∠CPO，代入求出即可；
（2）過(guò)P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠APO=∠A，∠C=∠CPO，求出即可；
（3）過(guò)P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠APO=∠A，∠C=∠CPO，求出即可．

解答 解：（1）如圖①，過(guò)P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∵∠A=30°，
∴∠APO=∠A=30°，∠C=∠CPO，
∵∠APC=80°
∴∠C=∠CPO=∠APC-∠APO=80°-30°=50°；

（2）∠A+∠C=∠APC，
證明：如圖②，過(guò)P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO=∠A，∠C=∠CPO，
∴∠APC=∠APO+∠CPO=∠A+∠C；

（3）不成立，關(guān)系式是：∠A-∠C=∠APC，
理由：如圖③，過(guò)P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO=∠A，∠C=∠CPO，
∴∠A-∠C=∠APO-∠CPO=∠APC，
即∠A-∠C=∠APC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線性質(zhì)的應(yīng)用，在解答此題時(shí)要注意作出輔助線，構(gòu)造出平行線求解．