Question

14．如圖，以AD為直徑的⊙O交AB于C點，BD的延長線交⊙O于E點，連CE交AD于F點，若AC=BC．
（1）求證：$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$；
（2）若$\frac{DE}{DF}$=$\frac{3}{2}$，求tan∠CED的值．

Answer 1

分析 （1）欲證明$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$，只要證明∠EAC=∠AEC即可；
（2）由△EDF∽△COF，可得$\frac{ED}{DF}$=$\frac{OC}{OF}$=$\frac{3}{2}$，設FO=2a，OC=3a，則DF=a，DE=1.5aAD=DB=6a，由△BAD∽△BEC，可得BD•BE=BC•BA，設AC=BC=x，則有2x²=6a×7.5a，由此求出AC、CD即可解決問題；

解答 （1）證明：連接AE．
∵AD是直徑，
∴∠ACD=90°，
∴DC⊥AB，∵AC=CB，
∴DA=DB，
∴∠CDA=∠CDB，
∵∠EAC+∠EDC=180°，∠EDC+∠CDB=180°，
∴∠BDC=∠EAC，
∵∠AEC=∠ADC，
∴∠EAC=∠AEC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$．

（2）解：連接OC．
∵AO=OD，AC=CB，
∴OC∥BD，
∴△EDF∽△COF，
∴$\frac{ED}{DF}$=$\frac{OC}{OF}$=$\frac{3}{2}$，設FO=2a，OC=3a，則DF=a，DE=1.5aAD=DB=6a，
∵∠BAD=∠BEC，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BEC，
∴BD•BE=BC•BA，設AC=BC=x，
則有2x²=6a×7.5a，
∴x=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$a，
∴AC=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$a，
∴CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$a，
∴tan∠BEC=tan∠DAC=$\frac{DC}{AC}$=$\frac{\frac{3\sqrt{6}}{2}a}{\frac{3\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質、解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．