Question

5．閱讀下列材料：某農(nóng)民家里有一塊四邊形的土地要均分給兩個(gè)兒子，采用的方法如下：連接AC，取AC的中點(diǎn)E，連接DE、BE，△AED，△ECD的等底等高，故面積也相等，同樣，試△AEB、△ECB的面積也相等，把四邊形ABED分給其中的一個(gè)兒子，余下的分給另一個(gè)兒子．（注：△是指三角形）

應(yīng)用：在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，分別是AB，BC，CD，DE的中點(diǎn)．EG與FH相交于O點(diǎn)．
（1）若四邊形AEOH、BEOF、CFOG的面積為15，17，16，則四邊形DGOH的面積是14；
（2）若四邊形AEOH、BEOF、CFOG、DGOH的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，直接寫出S₁、S₂、S₃、S₄S₁+S₃=S₂+S₄．

Answer 1

分析 由閱讀材料可知：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．條件中出現(xiàn)了線段的中點(diǎn)，問題中涉及到面積，由此聯(lián)想到“三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分”，故而連接OA、OB、OC、OD，即可得到S_△AOE=S_△BOE，S_△BOF=S_△COF，S_△COG=S_△DOG，S_△DOH=S_△AOH．
（1）由題可得S_△AOE+S_△AOH=15①，S_△BOE+S_△BOF=17②，S_△COF+S_△COG=16③，只需將①+③-②，就可解決問題；
（2）由題可得S_△AOE+S_△AOH=S₁，S_△BOE+S_△BOF=S₂，S_△COF+S_△COG=S₃，S_△DOG+S_△DOH=S₄，而S₁+S₃=S_△AOE+S_△AOH+S_△COF+S_△COG，S₂+S₄=S_△BOE+S_△BOF+S_△DOG+S_△DOH，即可得到S₁+S₃=S₂+S₄．

解答 解：（1）連接OA、OB、OC、OD，如圖1，

∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，分別是AB，BC，CD，DE的中點(diǎn)，
∴S_△AOE=S_△BOE，S_△BOF=S_△COF，S_△COG=S_△DOG，S_△DOH=S_△AOH，
∵S_△AOE+S_△AOH=15①，S_△BOE+S_△BOF=17②，S_△COF+S_△COG=16③，
∴由①+③-②得S_△AOH+S_△COG=15+16-17=14，
∴S_{四邊形DGOH}=S_△DOH+S_△DOG=S_△AOH+S_△COG=14．
故答案為14；

（2）連接OA、OB、OC、OD，如圖2，

∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，分別是AB，BC，CD，DE的中點(diǎn)，
∴S_△AOE=S_△BOE，S_△BOF=S_△COF，S_△COG=S_△DOG，S_△DOH=S_△AOH．
∵S_△AOE+S_△AOH=S₁，S_△BOE+S_△BOF=S₂，S_△COF+S_△COG=S₃，S_△DOG+S_△DOH=S₄，
∴S₁+S₃=S_△AOE+S_△AOH+S_△COF+S_△COG，S₂+S₄=S_△BOE+S_△BOF+S_△DOG+S_△DOH，
∴S₁+S₃=S₂+S₄．
故答案為S₁+S₃=S₂+S₄．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了“三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分”的應(yīng)用，由線段的中點(diǎn)聯(lián)想到三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，是解決本題的關(guān)鍵．