Question

17．如圖1，在正方形ABCD中，點P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PA=PE，PE交CD于點F，
（1）證明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度數(shù)；
（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當∠ABC=120°，連接CE，試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先證出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，進而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到結論；
（3）借助（1）和（2）的證明方法容易證明結論．

解答 （1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABP=∠CBP}&{\;}\\{PB=PB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；

（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（對頂角相等），
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°

（3）解：AP=CE；理由如下：
在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP和△CBP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABP=∠CBP}&{\;}\\{PB=PB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD（對頂角相等），
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°，
∴△EPC是等邊三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．

點評 本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，菱形的性質，等邊對等角的性質，熟記正方形的性質確定出∠ABP=∠CBP是解題的關鍵．