Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO為等腰直角三角形，∠A=90°，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（-2，0），連接CE交AO于點(diǎn)D．
（1）求直線CD的解析式；
（2）試探索S_△CDO與S_△ADE的關(guān)系，并說明理由；
（3）求S_{四邊形OBDE}的面積．

Answer 1

分析 （1）先由等腰直角三角形性質(zhì)得出點(diǎn)A（1，1），由中點(diǎn)坐標(biāo)得點(diǎn)E（1.5，0.5），利用待定系數(shù)法求直線CD的解析式；
（2）作輔助線，構(gòu)建兩三角形的高線AF和EG，可以得出S_△BEC=S_△ABO，則根據(jù)等式的性質(zhì)得出S_△COD=S_△ADE；
（3）先求交點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)面積差求四邊形OBDE的面積．

解答 解：（1）∵B的坐標(biāo)為（2，0），
∴OB=2，
∵△ABO為等腰直角三角形，∠A=90°，
∴A（1，1），
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴E（1.5，0.5），
設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，
把C（-2，0）、E（1.5，0.5）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{1.5k+b=0.5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{7}}\\{b=\frac{2}{7}}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為：y=$\frac{1}{7}$x+$\frac{2}{7}$；
（2）S_△CDO=S_△ADE，理由是：
過A作AF⊥OB于F，過E作EG⊥OB于G，則EG∥AF，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴G是BF的中點(diǎn)，
∴AF=2EG，
∵B（2，0）、C（-2，0），
∴BC=2OB，
∵S_△BEC=$\frac{1}{2}$BC×EG=$\frac{1}{2}$×2OB×EG=OB×EG，
S_△ABO=$\frac{1}{2}$OB×AF=$\frac{1}{2}$OB×2EG=OB×EG，
∴S_△BEC=S_△ABO，
∴S_△BEC-S_{四邊形OBED}=S_△ABO-S_{四邊形OBED}，
∴S_△COD=S_△ADE；
（3）直線OA的解析式為：y=x，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{7}x+\frac{2}{7}}\end{array}\right.$    解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
則S_{四邊形OBED}=S_△BEC-S_△CDO=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，同時(shí)將方程組與函數(shù)相結(jié)合可以求出點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)于證明兩個(gè)三角形面積相等時(shí)，除了利用公式直接計(jì)算面積外，還可以利用等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為證明另外兩個(gè)三角形的面積相等．