Question

19．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在AB上，過點(diǎn)B作⊙O的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）求證：BD²=DC•AD
（2）若AC=8cm，DC=2cm，求⊙O的面積．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=90°，再由切線的性質(zhì)得出∠ABD=90°，進(jìn)而可得出△BCD∽△ABD，據(jù)此可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)（1）中的結(jié)論得出BD²的值，再由勾股定理求出AB的長(zhǎng)，由圓的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵BD是⊙O的切線，
∴∠ABD=90°，
∴△BCD∽△ABD，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{DC}{BD}$，即BD²=DC•AD；

（2）∵AC=8cm，DC=2cm，
∴AD=8+2=10cm．
∵BD²=DC•AD，
∴BD²=2×10=20．
∵∠ABD=90°，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{100-20}$=4$\sqrt{5}$，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{5}$，
∴⊙O的面積=π×（2$\sqrt{5}$）²=20π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)及圓的切線的性質(zhì)，利用切線的性質(zhì)得到角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．