Question

6．閱讀下面的材料：
解方程x⁴-7x²+12=0這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)x²=y，則x⁴=y²，∴原方程可化為：y²-7y+12=0，解得y₁=3，y₂=4，當(dāng)y=3時(shí)，x²=3，x=±$\sqrt{3}$，當(dāng)y=4時(shí)，x²=4，x=±2．∴原方程有四個(gè)根是：x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$，x₃=2，x₄=-2，以上方法叫換元法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用上述方法解答下列問(wèn)題．
（1）解方程：（x²+x）²-5（x²+x）+4=0；
（2）已知實(shí)數(shù)a，b滿足（a²+b²）²-3（a²+b²）-10=0，試求a²+b²的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)y=x²+x，則由已知方程得到：y²-5y+4=0，利用因式分解法求得該方程的解，然后解關(guān)于x的一元二次方程；
（2）設(shè)x=a²+b²，則由已知方程得到：x²-3x-10=0，利用因式分解法求得該方程的解即可．

解答 解：（1）設(shè)y=x²+x，則y²-5y+4=0，
整理，得
（y-1）（y-4）=0，
解得y₁=1，y₂=4，
當(dāng)x²+x=1即x²+x-1=0時(shí)，解得：x=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$；
當(dāng)當(dāng)x²+x=4即x²+x-4=0時(shí)，解得：x=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$；
綜上所述，原方程的解為x_1，2=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，x_3，4=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$；

（2）設(shè)x=a²+b²，則x²-3x-10=0，
整理，得
（x-5）（x+2）=0，
解得y₁=5，y₂=-2（舍去），
故a²+b²=5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了換元法，即把某個(gè)式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，實(shí)行等量替換．