Question

5．如圖，已知⊙A與x軸交于A、D兩點，與y軸正半軸交于B點，C是⊙M上一點，且A（-2，0），B（0，4），AB=BC．
（1）求圓心M的坐標(biāo)．
（2）求四邊形ABCD的面積．
（3）如圖2，過C點作弦CF交BD于E點，當(dāng)BC=BE時，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接BD．由△AOB∽△BOD，可得$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OB}{OD}$，求出OD即可解決問題；
（2）如圖1中，連接BD、AC、BM交AC于K．由△BOM≌△AKM，推出OM=MK=3，KB=2，AK=BO=CK=4，由AD是直徑，推出∠ACD=90°，推出CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，根據(jù)S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD計算即可；
（3）如圖3中，連接DF、AC、作CH⊥BD于H．由△CBH∽△DAC，推出$\frac{BC}{AD}$=$\frac{BH}{AC}$=$\frac{CH}{CD}$，可得$\frac{2\sqrt{5}}{10}$=$\frac{BH}{8}$=$\frac{CH}{6}$，推出CH=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，BH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，由BC=BE=2$\sqrt{5}$，推出HE=BE-BH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，在Rt△CHE中，EC=$\sqrt{C{H}^{2}+H{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，由△CBE∽△DFE，可得$\frac{EC}{DE}$=$\frac{BE}{EF}$，求出EF即可解決問題；

解答 解：（1）如圖1中，連接BD．
∵AD時直徑，
∴∠ABD=90°，
∵∠ABO+∠DBO=90°，∠DBO+∠BDO=90°，
∴∠ABO=∠BDO，∵∠AOB=∠DOB=90°，
∴△AOB∽△BOD，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OB}{OD}$，
∵A（0，-2），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∴OD=8，
∴AD=10，OM=3，
∴M（3，0）．

（2）如圖1中，連接BD、AC、BM交AC于K．
∵AB=BC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴MB⊥AC，
∵∠BOM=∠AKM=90°∠BMO=∠AMK，MA=MB，
∴△BOM≌△AKM，
∴OM=MK=3，KB=2，AK=BO=CK=4，
∵AD是直徑，
∴∠ACD=90°，
∴CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$•AC•BK+$\frac{1}{2}$•AC•CD=$\frac{1}{2}$×8×2+$\frac{1}{2}$×6×8=32．

（3）如圖3中，連接DF、AC、作CH⊥BD于H．
∵∠CBH=∠CAD，∠CHB=∠ACD=90°，
∴△CBH∽△DAC，
∴$\frac{BC}{AD}$=$\frac{BH}{AC}$=$\frac{CH}{CD}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{10}$=$\frac{BH}{8}$=$\frac{CH}{6}$，
∴CH=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，BH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵BC=BE=2$\sqrt{5}$，
∴HE=BE-BH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△CHE中，EC=$\sqrt{C{H}^{2}+H{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵∠CBE=∠F，∠BCE=∠EDF，
∴△CBE∽△DFE，
∴$\frac{EC}{DE}$=$\frac{BE}{EF}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{EF}$，
∴EF=5$\sqrt{2}$，
∴CF=CE+EF=2$\sqrt{2}$+5$\sqrt{2}$=7$\sqrt{2}$．

點評 本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、直徑的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．