Question

13．如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{4-2m}{x}$（x＞0）的圖象交于點A（2，-4）和點B，與x軸交于點C，且$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$．
（1）求m的值；
（2）求一次函數(shù)的解析式；
（3）若在x軸上存在點P使得△PAB的周長最小，請求出此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線位于第四象限，比例系數(shù)k＜0，列式求解即可；
（2）先把點A的坐標代入反比例函數(shù)表達式求出m的值，從而的反比例函數(shù)解析式，設(shè)點B的坐標為B（x，y），利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出y的值，然后代入反比例函數(shù)解析式求出點B的坐標，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′B交x軸于點P，利用待定系數(shù)法求直線A′B的解析式，再得出點P的坐標．

解答 解：（1）根據(jù)題意，反比例函數(shù)圖象位于第四象限，
∴4-2m＜0，
解得m＞2；

（2）∵點A（2，-4）在反比例函數(shù)圖象上，
∴$\frac{4-2m}{2}$=-4，
解得m=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{8}{x}$，
∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
設(shè)點B的坐標為（x，y），
則點B到x軸的距離為-y，點A到x軸的距離為4，
所以$\frac{-y}{4}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
解得y=-1，
∴-$\frac{8}{x}$=-1，
解得x=8，
∴點B的坐標是B（8，-1），
設(shè)這個一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，
∵點A、B是一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-4}\\{8k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式是y=$\frac{1}{2}$x-5，
（3）作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′B交x軸于點P，設(shè)直線A′B的解析式為y=cx+d，
得$\left\{\begin{array}{l}{8c+d=-1}\\{2c+d=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=-\frac{5}{6}}\\{d=\frac{17}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線A′B的解析式為y=-$\frac{5}{6}$x+$\frac{17}{3}$，
∵點P在x軸上，∴P（$\frac{34}{5}$，0）．

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求出點B的坐標是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．