Question

6．我們把能平分四邊形面積的直線稱為“好線”．利用下面的作圖，可以得到四邊形的“好線”：如圖1四邊形ABCD中，取對角線BD的中點(diǎn)O，連接OA，OC，顯然，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，再過點(diǎn)O作OE∥AC交CD于E，則直線AE即為一條“好線”．
（1）如圖1，試說明直線AE是“好線”的理由；
（2）如圖2，AE為一條“好線”，F(xiàn)為AD邊上的一點(diǎn)，請作出經(jīng)過F點(diǎn)的“好線”，并說明理由；
（3）如圖3，五邊形ABCDE是一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如圖3所示的形狀，但原塊土地與開墾荒地的分界小路（折線CDE）還保留著，現(xiàn)在請你過E點(diǎn)修一條直路．要求直路左邊的土地面積與原來一樣多（只需對作圖適當(dāng)說明無需說明理由）

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AH⊥BC于H．由S_△ABD=$\frac{1}{2}$•BD•AH，S_△ADC=$\frac{1}{2}$•DC•AH，因?yàn)锽D=CD，所以S_△ABD=S_△ADC，再判斷出S_{四邊形ABCO}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}，進(jìn)而判斷出S_△AOE=S_△COE，推出S_△AOF=S_△CEF，即可推出直線AE平分四邊形ABCD的面積；
（2）連接EF，過A作EF的平行線交CD于點(diǎn)G，連接FG，則GF為一條“好線”．由AG∥EF，推出S_△AGE=S_△AFG．設(shè)AE與FG的交點(diǎn)是O．則S_△AOF=S_△GOE，又AE為一條“好線”，所以GF為一條“好線”，
（3）連接CE，過點(diǎn)D作DF∥EC交CM于F，連接EF，即EF為所修的直路，利用夾在平行線間的距離處處相等得出
DG=FH，即可得出S_△CDE=S_△CEF，結(jié)論得證．

解答 解：（1）∵點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，
∴S_△AOB=S_△AOD，S_△BOC=S_△DOC，
∴S_△AOB+S_△BOC=S_△AOD+S_△DOC=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}，
∴S_{四邊形ABCO}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}．
∴折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，
設(shè)AE交OC于F．

∵OE∥AC，
∴S_△AOE=S_△COE，
∴S_△AOF=S_△CEF，
∵折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，
∴直線AE平分四邊形ABCD的面積，即AE是四邊形ABCD的一條“好線”． 

（2）連接EF，過A作EF的平行線交CD于點(diǎn)G，連接FG，則GF為一條“好線”．

∵AG∥EF，
∴S_△AGE=S_△AFG．
設(shè)AE與FG的交點(diǎn)是O．則S_△AOF=S_△GOE，
又AE為一條“好線”，所以GF為一條“好線”．
（3）如圖3，
連接CE，過點(diǎn)D作DF∥EC交CM于F，連接EF，即EF為所修的直路，
理由：過點(diǎn)D作DG⊥CE于G，過點(diǎn)F作FH⊥EC于H，
∵DF∥EC，∴DG=FH（夾在平行線間的距離處處相等），
∵S_△CDE=$\frac{1}{2}$EC×DG，S_△CEF=$\frac{1}{2}$EC×FH，
∴S_△CDE=S_△CEF，
∴S_{四邊形ABCDE}=S_{四邊形ABCE}+S_△CDE=S_{四邊形ABCE}+S_△CEF=S_{五邊形ABCFE}．
即：直路左邊的土地面積與原來一樣多．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、三角形中線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，理解同底等高的三角形面積相等，屬于中考創(chuàng)新題目．