Question

14．如圖，點(diǎn)A在函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）圖象上，過(guò)點(diǎn)A作x軸和y軸的平行線分別交函數(shù)y=$\frac{1}{x}$圖象于點(diǎn)B、C，直線BC與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為D、E．當(dāng)點(diǎn)A在函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
（1）設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\frac{1}{4}$a，$\frac{4}{a}$），點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（a，$\frac{1}{a}$）（用含a的字母表示）；
（2）△ABC的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出△ABC的面積，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出BD與CE滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由條件可先求得A點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得B點(diǎn)縱坐標(biāo)，再代入y=$\frac{1}{x}$可求得B點(diǎn)與C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）可設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出C、B的坐標(biāo)，則可表示出AB和AC的長(zhǎng)，可求得△ABC的面積；
（3）可證明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的長(zhǎng)可表示出EF，可得到BG=EF，從而可證明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)A在函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）圖象上，
∴點(diǎn)A縱坐標(biāo)為$\frac{4}{a}$，
∵AB∥x軸，AC∥y軸，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為：$\frac{4}{a}$，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a，
∴點(diǎn)B橫坐標(biāo)為：$\frac{1}{4}$a；點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為：$\frac{1}{a}$，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{4}$a，$\frac{4}{a}$），C（a，$\frac{1}{a}$）；
故答案為：（$\frac{1}{4}$a，$\frac{4}{a}$），C（a，$\frac{1}{a}$）；

（2）∵A（a，$\frac{4}{a}$），則C（a，$\frac{1}{a}$），B（$\frac{a}{4}$，$\frac{4}{a}$），
∴AB=a-$\frac{a}{4}$=$\frac{3}{4}$a，AC=$\frac{4}{a}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{a}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$a×$\frac{3}{a}$=$\frac{9}{8}$，
即△ABC的面積不發(fā)生變化，其面積為$\frac{9}{8}$；
（3）BD=CE，
如圖，設(shè)AB的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)G，AC的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)F，

∵AB∥x軸，
∴△ABC∽△EFC，
∴$\frac{AB}{EF}$=$\frac{AC}{FC}$，即$\frac{\frac{3}{4}a}{EF}$=$\frac{\frac{3}{a}}{\frac{1}{a}}$，
∴EF=$\frac{1}{4}$a，
由（2）可知BG=$\frac{1}{4}$a，
∴BG=EF，
∵AE∥y軸，
∴∠BDG=∠FCE，
在△DBG和△CFE中$\left\{\begin{array}{l}{∠BDG=∠FCE}\\{∠BGD=∠FEC}\\{BG=EF}\end{array}\right.$，
∴△DBG≌△CEF（AAS），
∴BD=CE．

點(diǎn)評(píng) 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象的交點(diǎn)、平行線的性質(zhì)、三角形的面積、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．要（1）中求得A點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中用a表示出AB、AC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（3）中證得BD=EC，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．