Question

3．已知方程x²-5x+1=0，求：
（1）x+$\frac{1}{x}$的值；
（2）x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的值；
（3）x-$\frac{1}{x}$的值．

Answer 1

分析 （1）在已知方程的兩邊同時除以x，然后來求x+$\frac{1}{x}$的值；
（2）通過求（x+$\frac{1}{x}$）²來求x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的值；
（3）利用完全平方公式的變形公式進行解答．

解答 解：（1）在x²-5x+1=0的兩邊同時除以x，得x-5+$\frac{1}{x}$=0，
所以x+$\frac{1}{x}$=5；

（2）x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2=5²-2=23；

（3）（x-$\frac{1}{x}$）²=（x+$\frac{1}{x}$）²-4=25-4=21，
所以x-$\frac{1}{x}$=±$\sqrt{21}$．

點評 本題考查了一元二次方程的解．找出x+$\frac{1}{x}$、x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$、x-$\frac{1}{x}$間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．