Question

19．如圖1，所示，在等邊三角形ABC中，線段AD為其角平分線，過D的直線B₁C₁⊥AC于C₁，交AB的延長線于B₁．
（1）請你探究：$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{DB}$•$\frac{A{C}_{1}}{A{B}_{1}}$=$\frac{{C}_{1}D}{D{B}_{1}}$是否成立？
（2）如圖2所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=$\frac{40}{3}$，E為AB上一點，且AE=5，CE交△ABC的角平分線AD于F，試求$\frac{DF}{FA}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，則DB=CD，易得$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{DB}$；由于∠C₁AB₁=60°，得∠B₁=30°，則AB₁=2AC₁，同理可得到DB₁=2DC₁，易得$\frac{A{C}_{1}}{A{B}_{1}}$=$\frac{{C}_{1}D}{D{B}_{1}}$；
（2）AD為△ABC的內(nèi)角角平分線，由（2）的結(jié)論得到$\frac{CD}{DB}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{8}{\frac{40}{3}}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{EF}{FC}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{5}{8}$，又$\frac{AE}{EB}$=$\frac{5}{\frac{40}{3}-5}$=$\frac{3}{5}$，則有$\frac{CD}{DB}$=$\frac{AE}{EB}$，得到DE∥AC，根據(jù)相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，即有$\frac{DF}{AF}$=$\frac{EF}{CF}$=$\frac{5}{8}$．

解答 解：（1）兩個等式都成立．理由如下：
∵△ABC為等邊三角形，AD為角平分線，
∴AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，
∴DB=CD，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{DB}$；
∵∠C₁AB₁=60°，
∴∠B₁=30°，
∴AB₁=2AC₁，
又∵∠DAB₁=30°，
∴DA=DB₁，
而DA=2DC₁，
∴DB₁=2DC₁，
∴$\frac{A{C}_{1}}{A{B}_{1}}$=$\frac{{C}_{1}D}{D{B}_{1}}$；
（2）如圖
，
連DE，
∵AD為△ABC的內(nèi)角角平分線
∴$\frac{CD}{DB}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{8}{\frac{40}{3}}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{EF}{FC}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{5}{8}$，
又∵$\frac{AE}{EB}$=$\frac{5}{\frac{40}{3}-5}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{CD}{DB}$=$\frac{AE}{EB}$，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{EF}{CF}$=$\frac{5}{8}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線被其它兩邊所截，所截得的三角形與原三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊的比相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30°的直角三角形三邊的關(guān)系以及角平分線的性質(zhì)．