Question

16．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別在BC、AB上，且AE=BD，連接AD、CE交于P，過點C作CH⊥AD于H．
（1）求證：△ACE≌△BAD；
（2）求$\frac{PC}{PH}$的值．
（3）若AH²+AH•AP-6AP²=0，試判斷BP、PC的位置關系，并證明．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的三條邊相等、三個內(nèi)角都是60°可以推知：AC=AB，∠ACE=∠ABD=60°，然后結合已知條件，利用全等三角形的判定定理SAS證得結論；
（2）因為CH⊥AD，△PCH為直角三角形，由△ACE≌△BAD得出∠AEP=∠ADB，進一步得出∠APE=∠ABD=60°，則∠CPH=∠APE=60°，進一步求得∠PCH=30°解決問題；
（3）先判斷出AH=2AP，進而判斷出△ABH≌△CAP，即可得出∠PBH=∠BPH=30°，即可得出結論．

解答 證明：（1）
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB，∠ACE=∠ABD=60°．
在△ACE與△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACE=∠ABD}\\{AE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
（2）解：∵CH⊥AD，
∴△PCH為直角三角形，
∵△ACE≌△BAD，
∴∠AEP=∠ADB，
∴∠APE=∠ABD=60°，
∴∠CPH=∠APE=60°，
∴∠PCH=30°，
∴PC=2PH，
即$\frac{PC}{PH}$=2，
（3）BP⊥PC．
理由：如圖，連接BH，

∵AH²+AH•AP-6AP²=0，
∴（AH+3AP）（AH-2AP）=0，
∴AH=2AP，
∴AP=PH，
由（2）知，PC=2PH，
∴PC=AH，
在△ABH和△CAP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠ACP}\\{AH=PC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△CAP，
∴∠BHP=∠APC=120°，BH=AP，
∵AP=PH，
∴BH=PH，
∴∠PBH=∠BPH，
∴∠BPH=$\frac{180°-∠BHP}{2}$=30°，
∵∠CPH=60°
∴∠BPC=∠BPH+∠HPC=90°，
∴BP⊥PC．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)及有30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練綜合運用基本知識解決問題，得出AH=2AP是解本題的關鍵．