Question

14．如圖，AB是半圓O的直徑，D是$\widehat{AB}$上一點，C是$\widehat{AD}$的中點，過點C作AB的垂線，交AB于E，與過點D的切線交于點G，連接AD，分別交CE、CB于點P、Q，連接AC，關(guān)于下列結(jié)論：
①∠BAD=∠ABC；
②GP=GD；
③點P是△ACQ的外心．
其中正確結(jié)論是②③（填序號）．

Answer 1

分析 由于$\widehat{AC}$與$\widehat{BD}$不一定相等，根據(jù)圓周角定理可知①錯誤；連接OD，利用切線的性質(zhì)，可得出∠GPD=∠GDP，利用等角對等邊可得出GP=GD，可知②正確；先由垂徑定理得到A為$\widehat{CE}$的中點，再由C為$\widehat{AD}$的中點，得到$\widehat{CD}$=$\widehat{AE}$，根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角對等邊可得出AP=CP，又AB為直徑得到∠ACQ為直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P為直角三角形ACQ斜邊上的中點，即為直角三角形ACQ的外心，可知③正確；

解答 解：∵在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是弧AD的中點，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$≠$\widehat{BD}$，
∴∠BAD≠∠ABC，故①錯誤；

連接OD，
則OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，
∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EPA+∠FAP=∠FAP+∠GPD=90°，
∴∠GPD=∠GDP；
∴GP=GD，故②正確；

∵弦CE⊥AB于點F，
∴A為$\widehat{CE}$的中點，即$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，
又∵C為$\widehat{AD}$的中點，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CD}$，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP．
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACQ=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點，
∴P為Rt△ACQ的外心，故③正確；
故答案為：②③．

點評 本題考查了圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外接圓與圓心，平行線的判定，熟練掌握性質(zhì)及定理是解決本題的關(guān)鍵．