Question

17．如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上．
（1）求證：BD=CE．
（2）BD，CE有什么位置關(guān)系？請證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出AB=AC、AD=AE，由∠BAC=∠DAE=90°可得出∠BAD=∠CAE，由此即可證出△BAD≌△CAE（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出BD=CE；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠ABC=∠ACB=45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出∠ACE=∠ABC=45°，進(jìn)而即可得出∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即BD⊥CE．

解答 證明：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE．
∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠CAE，
即∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE．
（2）BD⊥CE．
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠ABC=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴BD⊥CE．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS證出△BAD≌△CAE；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的性質(zhì)找出∠ACB=∠ACE=45°．