Question

9．等腰△ABC中，過A作BC的垂線，垂足為D，且AD=$\frac{1}{2}$BC，則△ABC底角的度數(shù)為（　　）

• A． 45°
• B． 45°或75°
• C． 45°或15°或75°
• D． 45°或60°

Answer 1

分析 分三種情況討論，先根據(jù)題意分別畫出圖形，當(dāng)AB=AC時(shí)，根據(jù)已知條件得出AD=BD=CD，從而得出△ABC底角的度數(shù)；當(dāng)AB=BC時(shí)，先求出∠ABD的度數(shù)，再根據(jù)AB=BC，求出底角的度數(shù)；當(dāng)AB=BC時(shí)，根據(jù)AD=$\frac{1}{2}$BC，AB=BC，得出∠DBA=30°，從而得出底角的度數(shù)．

解答 解：①如圖1，當(dāng)AB=AC時(shí)，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=BD=CD，
∴底角為45°；
②如圖2，當(dāng)AB=BC時(shí)，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠ABD=30°，
∴∠BAC=∠BCA=75°，
∴底角為75°．
③如圖3，當(dāng)AB=BC時(shí)，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，AB=BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠DBA=30°，
∴∠BAC=∠BCA=15°；
∴△ABC底角的度數(shù)為45°或75°或15°．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)，以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論求解．