Question

18．如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，在CD邊上取一點E，使DE=1，連接AE，過點D作DF⊥AE于點F，連接BF過點A作AG⊥BF于點G，連接CG，則CG=$\frac{3}{130}$$\sqrt{6890}$．

Answer 1

分析 作FM⊥AB于M，MF交CD的延長線于N，作GH⊥AB于H，GK⊥BC于K．則四邊形AMND，四邊形GHBK是矩形．在Rt△CKG中，利用勾股定理，想辦法求出GK、CK即可解決問題．

解答 解：作FM⊥AB于M，MF交CD的延長線于N，作GH⊥AB于H，GK⊥BC于K．則四邊形AMND，四邊形GHBK是矩形．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC=AB=3，∠ADC=∠ABC=90°，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵DF⊥AE，
∴DF=$\frac{AD•DE}{AE}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，EF=$\sqrt{D{E}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴FN=$\frac{DF•EF}{DE}$=$\frac{3}{10}$，F(xiàn)M=3-$\frac{3}{10}$=$\frac{27}{10}$，DN=$\frac{9}{10}$
∴BM=AB-AM=3-$\frac{9}{10}$=$\frac{21}{10}$，
在Rt△BMF中，BF=$\sqrt{B{M}^{2}+M{F}^{2}}$=$\frac{3}{10}$$\sqrt{130}$，
∵$\frac{1}{2}$•AB•FM=$\frac{1}{2}$•FB•AG，
∴AG=$\frac{27}{130}$$\sqrt{130}$，
在Rt△ABG中，BG=$\sqrt{A{B}^{2}-A{G}^{2}}$=$\frac{21}{130}$$\sqrt{130}$，
同法HG=$\frac{AG•BG}{AB}$=$\frac{189}{130}$，
在Rt△BHG中，BH=GK=$\sqrt{B{G}^{2}-G{H}^{2}}$=$\frac{147}{130}$，
在Rt△CKG中，CG=$\sqrt{C{K}^{2}+G{K}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{147}{130}）^{2}+（\frac{201}{130}）^{2}}$=$\frac{3}{130}$$\sqrt{6890}$．
故答案為$\frac{3}{130}$$\sqrt{6890}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、面積法等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，計算量比較大．