Question

4．已知：在△ABC中，點D在BC邊上，過點C作一直線與邊AB及AD分別交于點F、E．
（1）如圖，當$\frac{BD}{DC}$=$\frac{1}{2}$時，求證：$\frac{AE}{ED}$=$\frac{3AF}{FB}$；
（2）如圖，當$\frac{BD}{DC}$=$\frac{m}{n}$時，猜想：$\frac{AE}{ED}$與$\frac{AF}{FB}$之間是否存在著一定的數(shù)量關系？若存在，請寫出它們之間的關系式，并給出證明過程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過D作DG∥FC交AB于G，根據平行線分線段成比例定理得到$\frac{BG}{FG}=\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，求出$FG=\frac{2}{3}$FB，等量代換得到結論；
（2）如圖2，過D作DG∥FC交AB于G，根據平行線分線段成比例定理得到$\frac{BG}{FG}=\frac{BD}{CD}=\frac{m}{n}$，證得FG=$\frac{n}{m+n}•FB$，由等量代換得到結論．

解答 解：（1）如圖1，過D作DG∥FC交AB于G，
∴$\frac{BG}{FG}=\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$FG=\frac{2}{3}$FB，
∵EF∥DG
∴$\frac{AE}{ED}=\frac{AF}{FG}=\frac{AF}{\frac{2}{3}FB}=\frac{3AF}{2FB}$；

（2）猜想$\frac{AE}{ED}=\frac{（m+n）AF}{n•FB}$，
證明：如圖2，過D作DG∥FC交AB于G，
∴$\frac{BG}{FG}=\frac{BD}{CD}=\frac{m}{n}$，
∴FG=$\frac{n}{m+n}•FB$，
∴$\frac{AE}{ED}=\frac{AF}{FG}=\frac{AF}{\frac{n}{m+n}•FB}$=$\frac{（m+n）•AF}{n•FB}$．

點評 本題考查了平行線分線段成比例，正確的作出輔助線是解題的關鍵．