Question

14．如圖，直線y=x+n與x軸交于點A，與y軸交于點B（點A與點B不重合），拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+c經(jīng)過點A、B，拋物線的頂點為C．
（1）∠BAO=45°；
（2）求tan∠CAB的值；
（3）在拋物線上是否存在點P，能夠使∠PCA=∠BAC？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求直線AB與兩坐標軸的交點坐標，得OA=OB，可得結論；
（2）如圖1，作輔助線，構建直角三角形，證明∠CBA=∠CBD+∠DBA=90°，利用勾股定理計算BC和AB的長，根據(jù)正切的定義代入求值即可；
（3）分兩種情況：①當點P在CA左側時，如圖2，延長BD交拋物線于點E，此時，點P與點E重合，點P的坐標是（-4，6）；
②當點P在CA右側時，如圖3，作輔助線，直線CF與拋物線的交點就是P點．

解答 解：（1）y=x+n，
當x=0時，y=n，則B（0，n），
當y=0時，x=-n，則A（-n，0），
∴OA=OB=n，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
故答案為：45；

（2）由（1）得：B（0，n），A（-n，0），
∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+c經(jīng)過點A、B
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{1}{2}{n}^{2}+2n+c}\\{c=n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{n=6}\\{c=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{n=0}\\{c=0}\end{array}\right.$（舍去）
∴A（-6，0），B（0，6），直線AB的解析式為：y=x+6，
拋物線為：y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x+6=-$\frac{1}{2}$（x+2）²+8，
∴拋物線的頂點為C（-2，8），
設拋物線的對稱軸為直線l，連結BC，
如圖1，過點B作BD⊥l，則BD=CD=2，BD∥x軸，
∴∠CBD=45°，
又BD∥x軸，
∴∠DBA=∠BAO=45°，
∴∠CBA=∠CBD+∠DBA=90°，
在Rt△CDB中，BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴在Rt△ABC中，tan∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$；

（3）①當點P在CA左側時，如圖2，
延長BD交拋物線于點E，當∠PCA=∠BAC時，CP∥AB，
此時，點P與點E重合，點P的坐標是（-4，6）；
②當點P在CA右側時，如圖3，過點A作AC的垂線交CP于點F，
過點A作y軸的平行線m，過點C作CM⊥m，過點F作FN⊥m，
由于tan∠BAC=$\frac{1}{3}$，所以tan∠ACF=tan∠ACP=$\frac{1}{3}$，
∵Rt△CMA∽Rt△ANF，
∴$\frac{AN}{CM}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$，$\frac{NF}{MA}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$，AN=$\frac{1}{3}$CM=$\frac{4}{3}$，NF=$\frac{1}{3}$MA=$\frac{8}{3}$，
∴F（-$\frac{10}{3}$，-$\frac{4}{3}$）；
易求得直線CF的解析式為：y=7x+22，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=7x+22}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-2x+6}\end{array}\right.$，消去y，得x²+18x+32=0，
解得x=16或x=-2（舍去），
因此點P的坐標（-16，-90）；
綜上所述，P的坐標是（-4，6）或（-16，-90）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了字母系數(shù)的函數(shù)解析式、與坐標軸的交點、三角函數(shù)、三角形相似的性質和判定，并采用了分類討論的思想解決第3個問題，本題若想求角的度數(shù)和三角函數(shù)值，需求出函數(shù)與兩坐標軸的交點坐標，寫出對應邊的長度，從而解決問題．