Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，過點P作⊙O的切線，切點為D，PD的延長線與弦BE的延長線交于點C，連接BD．
（1）當點D為弧AE的中點時，試判斷△PBC的形狀，并說明理由；
（2）連接AE，當BC=12，PC=16時，在（1）的條件下，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）首先連接OD，由過點P作⊙O的切線，切點為D，可得OD⊥PC，又由點D為弧AE的中點，根據(jù)垂徑定理即可求得OD⊥AE，AB是⊙O的直徑，易證得OD∥BC，即可證得∠C=90°，判定△PBC是直角三角形；
（2）首先過點D作DF⊥PB于點F，由點D為弧AE的中點，可判定BD是∠PBC的角平分線，則可得CD=DF，然后利用三角形的面積，求得CD的長，易證得△POD∽△PBC，可求得OD的長，又由△ABE∽△PBC，求得AE的長．

解答 解：（1）△PBC是直角三角形．
理由：連接OD，
∵PD是⊙O的切線，
∴OD⊥PD，
∵點D為弧AE的中點，
∴OD⊥AE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BE，
∴OD∥BE，
∴BC⊥PC，
即△PBC是直角三角形；

（2）過點D作DF⊥PB于點F，
∵點D為弧AE的中點，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{DA}$，
∴∠CBD=∠PBD，
∵BC⊥PC，
∴DC=DF，
設CD=x，則DF=x，
∵BC⊥PC，BC=12，PC=16，
∴PB=$\sqrt{B{C}^{2}+P{C}^{2}}$=20，
∵S_△PBC=S_△BCD+S_△PBD，
∴$\frac{1}{2}$BC•PC=$\frac{1}{2}$BC•CD+$\frac{1}{2}$PB•DF，
即$\frac{1}{2}$×12×16=$\frac{1}{2}$×12x+$\frac{1}{2}$×20x，
解得：x=6，
∴CD=6，
∴PD=PC-CD=10，
∵OD∥BC，
∴△POD∽△PBC，
∴$\frac{PD}{PC}=\frac{OD}{BC}$，
即$\frac{10}{16}=\frac{OD}{12}$，
解得：OD=7.5，
∴AB=2OD=15，
∵∠AEB=∠C=90°，∠ABE=∠PBC，
∴△ABE∽△PBC，
∴$\frac{AE}{PC}=\frac{AB}{PB}$，
即$\frac{AE}{16}=\frac{15}{20}$，
解得：AE=12．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．