Question

20．已知，如圖二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與y軸交于點C（0，4）與x軸交于點A、B，點B（4，0），拋物線的對稱軸為x=1．直線AD交拋物線于點D（2，m）．
（1）求二次函數(shù)的解析式并寫出D點坐標；
（2）點E是BD的中點，點Q是線段AB上一動點，當△QBE和△ABD相似時，求點Q的坐標；
（3）拋物線與y軸交于點C，直線AD與y軸交于點F，點M為拋物線對稱軸上的動點，點N在x軸上，當四邊形CMNF周長取最小值時，求出滿足條件的點M和點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）首先運用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，然后把點D（2，m）代入二次函數(shù)的解析式，就可求出點D的坐標；
（2）過點D作DH⊥AB于點H，如圖1，根據(jù)勾股定理可求出BD，易求出點A的坐標，從而得到AB長，然后分兩種情況：①△QBE∽△ABD，②△QBE∽△DBA討論，運用相似三角形的性質(zhì)求出BQ，從而得到OQ，即可得到點Q的坐標；
（3）根據(jù)待定系數(shù)法得到直線AD的解析式為：y=x+2，過點F作關(guān)于x軸的對稱點F′，即F′（0，-2），連接DF′交對稱軸于M′，x軸于N′，由條件可知，點C，D是關(guān)于對稱軸x=1對稱，則CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2$\sqrt{10}$，得到四邊形CFNM的最短周長為：2+2$\sqrt{10}$時直線DF′的解析式為：y=3x-2，從而得到滿足條件的點M和點N的坐標．

解答 解：（1）由題可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{16a+4b+c=0}\\{-\frac{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
則二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4．
∵點D（2，m）在拋物線上，
∴m=-$\frac{1}{2}$×2²+2+4=4，
∴點D的坐標為（2，4）；

（2）過點D作DH⊥AB于點H，如圖1，
∵點D（2，4），點B（4，0），
∴DH=4，OH=2，OB=4，
∴BH=2，∴DB=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵點E為DB的中點，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$．
令y=0，得-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，
解得：x₁=4，x₂=-2，
∴點A為（-2，0），
∴AB=4-（-2）=6．
①若△QBE∽△ABD，
則 $\frac{BQ}{BA}$=$\frac{BE}{BD}$，
∴$\frac{BQ}{6}$=$\frac{1}{2}$，
解得：BQ=3，
∴OQ=OB-BQ=4-3=1，
∴點Q的坐標為（1，0）；
②若△QBE∽△DBA，
則 $\frac{BQ}{BD}$=$\frac{BE}{BA}$，
∴$\frac{BQ}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{6}$，
∴BQ=$\frac{5}{3}$，
∴OQ=OB-BQ=4-$\frac{5}{3}$=$\frac{7}{3}$，
∴點Q的坐標為（$\frac{7}{3}$，0）．
綜上所述：點Q的坐標為（1，0）或（$\frac{7}{3}$，0）；

（3）如圖2，由A（-2，0），D（2，4），
可求得直線AD的解析式為：y=x+2，
即點F的坐標為：F（0，2），
過點F作關(guān)于x軸的對稱點F′，即F′（0，-2），連接DF′交對稱軸于M′，x軸于N′，
由條件可知，點C，D是關(guān)于對稱軸x=1對稱，
則CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2$\sqrt{10}$，
則四邊形CFNM的周長=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C，
即四邊形CFNM的最短周長為：2+2$\sqrt{10}$．
此時直線DF′的解析式為：y=3x-2，
所以存在點N的坐標為N（$\frac{2}{3}$，0），點M的坐標為M（1，1）．

點評 此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)等知識．綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想，方程思想與分類討論思想，注意輔助線的作法．