Question

8．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y₁=ax²+bx+c（c＜0）與x軸相交于點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）．與y軸交于點(diǎn)C，且OC=3，x₁•x₂＜0，|x₁|+|x₂|=4，點(diǎn)A，C在直線y₂=-3x+t上．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和t的值；
（2）當(dāng)y₁隨著x的增大而減小時(shí)，求自變量x的取值范圍；
（3）若y₁＞y₂，求自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=0，則y=c，再根據(jù)OC=3，可求點(diǎn)C的坐標(biāo)，把C（0，-3）代入y₂=-3x+t可求t的值；
（2）把A（x₁，0）代入，y₂=-3x-3，可求A（-1，0），進(jìn)一步得到B（3，0），再待定系數(shù)法可求自變量x的取值范圍；
（3）根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到自變量x的取值范圍．

解答 解：（1）令x=0，則y=c，
∴C（0，c），
∵OC=3，
∴|c|=3，即c=±3，
又∵c＜0，
∴c=-3，
∴C（0，-3），
把C（0，-3）代入y₂=-3x+t，則0+t=-3，即t=-3；
（2）∵t=-3，
∴y₂=-3x-3，
把A（x₁，0）代入，y₂=-3x-3，則-3x₁-3=0，即x₁=-1，
∴A（-1，0），
∵x₁x₂異號(hào)，x₁=-1＜0∴x₂＞0，
∵|x₁|+|x₂|=4，
∴1+x₂=4，x₂=3，則B（3，0），
代入${y_1}=a{x^2}+bx-3$得$\left\{\begin{array}{l}a-b-3=0\\ 9a+3b-3=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\end{array}\right.$，
${y_1}={x^2}-2x-3={（x-1）^2}-4$，
則當(dāng)x≤1 時(shí)，y隨x增大而減�。�
∴當(dāng)y隨x增大而減小時(shí)，x≤1；
（3）若y₁＞y₂，自變量x的取值范圍為x＜-1或x＞0．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)與不等式（組），拋物線與x軸的交點(diǎn)，以及求兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)以及比較函數(shù)值的大小等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合比較函數(shù)值的大小是這部分考查的重點(diǎn)．