Question

16．已知：如圖△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，當(dāng)△BDE繞著點B轉(zhuǎn)動，點F是CE的中點，求證：△ADF是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 如圖，延長AF到M，使得FM=AF，連接EM，DM．先證明△AFC≌△MFE，得出AC=EM=AB，再證明△ABD≌△MED，推出△ADM是等腰直角三角形即可解決問題．

解答 證明：如圖，延長AF到M，使得FM=AF，連接EM，DM．

∵△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，BD=DE，∠ABC=∠ACB=∠DBE=∠DEB=45°，
在△AFC和△MFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=FM}\\{∠AFC=∠EFM}\\{CF=EF}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△MFE，
∴AC=EM=AB，∠MEF=∠ACE，
∵∠DEM=360°-∠DEB-∠MEF-∠BEC=360°-45°-（45°+∠2）-（180°-∠1-∠2）=90°+∠1=∠ABC+∠1+∠DBE=∠ABD，
在△ABD和△MED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EM}\\{∠ABD=∠DEM}\\{BD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△MED，
∴AD=DM，∠BDA=∠MDE，
∴∠ADM=∠BDE=90°，∵AF=FM，
∴DF=AF=FM，DF⊥AM，
∴△ADF是等腰直角三角形．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，在本題中需要作輔助線來證明，難度較大．熟練掌握判定定理及性質(zhì)并靈活運用是解題的關(guān)鍵．