Question

閱讀材料：
小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2

2

=（1+

2

）²．善于思考的小明進行了以下探索：
設a+b

2

=（m+n

2

）²（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b

2

=m²+2n²+2mn

2

．
∴a=m²+2n²，b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b

2

的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+b

3

=（m+n

3

）²，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=

 

，b=

 

；
（2）利用所探索的結(jié)論，請找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：

 

+

 

3

=（

 

+

 

3

）²；
（3）若a-6

5

=（m-n

5

）²且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．

Answer 1

考點：二次根式的混合運算

專題：

分析：（1）根據(jù)上面的例子，將（m+n

3

）²，按完全平方展開，可得出答案；
（2）由（1）可寫出一組答案，不唯一；
（3）將（m-n

5

）²展開得出m²-2

5

mn+5n²，由題意得mn=3，m²+5n²=a，再由a、m、n均為正整數(shù)，可得出m=3，n=1，a=14．

解答：解：（1）∵a+b

3

=（m+n

3

）²，
∴a+b

3

=m²+3n²+2

3

mn，
∴a=m²+3n²，b=2

3

mn；
（2）由（1）可得a=13，b=4，m=1，n=2；
（3）∵a-6

5

=（m-n

5

）²，
∴a-6

5

=m²-2

5

mn+5n²，
∴mn=3，m²+5n²=a，
∵a、m、n均為正整數(shù)，
∴m=3，n=1，a=14；
故答案為m²+3n²，2

3

mn，13，4，1，2．

點評：本題考查了二次根式的混合運算，注意分析所給的材料，再進行解答．