Question

8．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列說法：①AB∥CD；②ED⊥CD；③∠DFC=∠ADC-∠DCE；④S_△EDF=S_△BCF，其中正確的結(jié)論是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠ABC=∠ADC，得出平行四邊形ABCD，即可推出AB∥CD；
②根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出DE⊥AB，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可推出DE⊥CD；
③由∠A=∠ABD，四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD=BD=BC，進而由等邊對等角可得：∠BDC=∠BCD，然后由AD∥BC，可得∠ADB=∠DBC，然后由角的和差計算及等量代換可得：∠ADC-∠DCE=∠DBC+∠BCF，然后根據(jù)外角的性質(zhì)可得：∠DFC=∠DBC+BCF，進而可得：∠DFC=∠ADC-∠DCE；
④根據(jù)等底等高的三角形面積相等即可推出S_△EDF=S_△BCF．

解答 解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠A=∠BCD，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠A=∠BCD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵∠A=∠ABD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
∴DE⊥CD，
∵∠A=∠ABD，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠ADC=∠ADB+∠BDC，
∴∠ADC=∠DBC+∠BCD，
∴∠ADC-∠DCE=∠DBC+∠BCD-∠DCE=∠DBC+∠BCF，
∵∠DFC=∠DBC+BCF，
∴∠DFC=∠ADC-∠DCE；
∵AB∥CD，
∴△BED的邊BE上的高和△EBC的邊BE上的高相等，
∴由三角形面積公式得：S_△BED=S_△EBC，
都減去△EFB的面積得：S_△EDF=S_△BCF，
∴①②③④都正確，
故選D．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出AB∥CD．