Question

3．如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC邊上的中線，∠ACE=$\frac{1}{2}$∠BAC，CE交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F．若BC=2，則EF的長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\sqrt{3}-1$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 過(guò)F點(diǎn)作FG∥BC．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得AF=CF，在Rt△CDF中，根據(jù)三角函數(shù)可得AF=CF=2，DF=$\sqrt{3}$，根據(jù)平行線分線段成比例可得比例式GF：BD=AF：AD，求得GF=4-2$\sqrt{3}$，再根據(jù)平行線分線段成比例可得比例式EF：EC=GF：BC，依此即可得到EF=$\sqrt{3}$-1．

解答 解：過(guò)F點(diǎn)作FG∥BC．
∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=1，∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°，AD⊥BC，
∵∠ACE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠CAD=∠ACE=15°，
∴AF=CF，
∵∠ACD=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠DCE=75°-15°=60°，
在Rt△CDF中，AF=CF=$\frac{DC}{cos60°}$=2，DF=CD•tan60°=$\sqrt{3}$，
∵FG∥BC，
∴GF：BD=AF：AD，即GF：1=2：（2+$\sqrt{3}$），
解得GF=4-2$\sqrt{3}$，
∴EF：EC=GF：BC，即EF：（EF+2）=（4-2$\sqrt{3}$）：2，
解得EF=$\sqrt{3}$-1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可得，三角函數(shù)，平行線分線段成比例，以及方程思想，本題的難點(diǎn)是作出輔助線，尋找解題的途徑．