Question

12．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，弦ED=BA，BE⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)E，求證：
（Ⅰ）∠ECB=∠BAD；
（Ⅱ）BE是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由四邊形ABCD為圓的內(nèi)角四邊形，得到四邊形外角等于它的內(nèi)對角，得證；
（Ⅱ）連接OB，OD，利用SSS得到三角形ABO與三角形DBO全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠DBO=∠ABO，進(jìn)而確定出一對內(nèi)錯(cuò)角相等，得到OB與ED平行，由BE與ED垂直，得到EB與BO垂直，即可得證．

解答 （Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ECB=∠BAD；
（Ⅱ）證明：連結(jié)OB，OD，
在△ABO和△DBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{BO=BO}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切線．

點(diǎn)評 此題考查了切線的判定，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．